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加法高精度

两个正整数相加

两个正小数相加

两正数相加

减法高精度

两个正整数相减

两个正小数相减

两正数相减

加减法总结

 乘法高精度

两个正整数相乘

两个正小数相乘

乘法总结

加法高精度

题目来源洛谷：P1601 A+B Problem（高精）

高精度：顾名思义，就是在很大的位数情况下进行运算，其基本思想就是用数组进行模拟加法进位，最后遍历数组输出。可以看到提示的a，b最大值达到10^18，而内置类型long long能接受数据的最大值在10^19，题目目的就是为了不让你内置类型来接收数据。

两个正整数相加

我们可以使用字符串来模拟高精度运算，本题要求很少：只需要正整数相加即可，以 83 + 2047 为例模拟一下加法过程，我们可以看一下下图：

按照加法原则，个位与个位相加，十位与十位相加……注意相加的过程中要加上前一位的进位，注意最高位相加后要看进位d是否为0，代码如下：

// 整数部分 // 全是正数string add_int(string a, string b){ 	string ret; //存放最终结果	int d = 0;// 记录进位	int na = a.size(), nb = b.size();	int n = max(na, nb);// 统一个数	// 位数不够前面补0	if (na > nb)		for (int i = 1; i <= na - nb; i++)			b = "0" + b;	else		for (int i = 1; i <= nb - na; i++)			a = "0" + a;	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)	{ 		int tmp = 0, tmp_a = a[i] - '0', tmp_b = b[i] - '0';		tmp = tmp_a + tmp_b + d; //加前一次的进位		d = tmp / 10;		tmp %= 10;		ret.push_back(tmp + '0');	}	if (d != 0)		ret.push_back(d + '0');	reverse(ret.begin(), ret.end());	return ret;}

两个正小数相加

 根据此题，我又试着把大于0的小数相加设计了出来，这样使得原本加法更加完善，可以对大于等于0的所有数进行加法运算，但是需要注意一点的是，小数部分靠近小数点的为高位，意味着我们要在数字后面补0，以 0.99 和 0.4721 为例子，看以下图示：

根据上图可以用代码将其实现：

// 小数部分  // 全是正数string add_float(string a, string b){ 	string ret;	int d = 0;// 记录进位	int na = a.size(), nb = b.size();	int n = max(na, nb);// 统一个数	// 位数不够后面补0	if (na > nb)		for (int i = 1; i <= na - nb; i++)			b = b + "0";	else		for (int i = 1; i <= nb - na; i++)			a = a + "0";	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)	{ 		int tmp = 0, tmp_a = a[i] - '0', tmp_b = b[i] - '0';		tmp = tmp_a + tmp_b + d; //加前一次的进位		d = tmp / 10;		tmp %= 10;		ret.push_back(tmp + '0');	}	if (d != 0)// 说明要进位到整数		ret.push_back('x'); 	reverse(ret.begin(), ret.end());//前导x说明要整数部分+1	return ret;}

两正数相加

通过上述两个函数合并可以试着实现正数的加法，这里说一下我的思路：

1. 找到两个字符串中的小数点
2. 将字符串分为两个子串：左半部分为正整数子串，右半部分为正小数子串
3. 两个部分分别调用上述函数
4. 结果合并成一个字符串，该字符串为最终结果

 为了提高代码的可读性，本蒟蒻在每行代码后面添加了注释，大家可以试着看一下：

bz：本人考虑到小数部分相加刚好为1的情况，那么可以试着不要后面一大串全是0的子串，直接输出整数部分即可，这样更加贴合大家生活中的加法习惯。以下为代码：

// 加法string add(string a,string b){ 	auto it_a = a.find('.'), it_b = b.find('.');	string a_int = a, b_int = b, a_float, b_float; // 默认a b是整数	if (it_a != -1)// 找到小数点了就要分成两部分	{ 		a_int = a.substr(0, it_a); // 把整数部分裁下来		a_float = a.substr(it_a + 1, a.size() - it_a); // 把小数部分裁下来	}	if(it_b != -1)	{ 		b_int = b.substr(0, it_b);		b_float = b.substr(it_b + 1, b.size() - it_b); // 同上	}	string ad_float = add_float(a_float, b_float);	if (ad_float[0] == 'x')//看看有没有前导x，有就需要进位	{ 		ad_float = ad_float.substr(1, ad_float.size() - 1); //把前导x舍弃		a_int = add_int(a_int, "1"); // 小数进位只会加1	}	int count = 0;	for (auto e : ad_float) // 看看结尾是不是全是0		if (e == '0')			count++;	if (count == ad_float.size()) // 说明全是0，ret可以不要了		ad_float.clear(); //清空	string ad_int = add_int(a_int, b_int);	string ret = ad_int;	if (ad_float.size() != 0) // 说明里面有小数		ret = ret + "." + ad_float;	return ret;}

减法高精度

减法高精度与加法高精度略有不同，其区别在于进位，加法的进位是把进位值给高一级位，而减法进位需要向高一级位借一位（前数比后数小的前提下）

两个正整数相减

减法的难点在于：它不像加法那样可以一位一位顺位相加，在借位的情况下，可能出现越位减一的情况，例如100 - 9，要从百位借位，这样大大增加了难度。

注意以下两个特殊情况：

1. 两个相同数相减为0
2. 低位数不够，向高位借1

根据加法的代码，可以考虑在加法的基础上进行修改，并且通过两个正整数的相减可以实现一正一负的加法运算，提高了代码的复用性。看以下一下代码：

// 整数部分 // 全是正数 // 大 - 小string sub_int(string a, string b){ 	string ret; // 存放最终结果	int d = 0;// 记录进位	int na = a.size(), nb = b.size();	int n = max(na, nb);// 统一个数	// 位数不够前面补0	if (na > nb)		for (int i = 1; i <= na - nb; i++)			b = "0" + b;	else		for (int i = 1; i <= nb - na; i++)			a = "0" + a;	string maxn = a, minn = b; // 重新搞两个字符串（提高可读性）	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)	{ 		int tmp = 0, tmp_max = maxn[i] - '0' + d, tmp_min = minn[i] - '0'; // 进位放初始化		d = 0;// 注意用完 d 归零		if (tmp_max < tmp_min) // 借位情况（大数该位不够减小数该位）		{ 			tmp_max += 10; //问前面一位要了一个1			d = -1;		}		tmp = tmp_max - tmp_min;		ret.push_back(tmp + '0');	}	for (int i = n - 1; i >= 1; i--) //一样的数相减全是0删掉（注意留最后一个0）	{ 		if (ret[i] == '0')			ret.pop_back();		else			break;	}	reverse(ret.begin(), ret.end());	return ret;}

两个正小数相减

正小数相减和相加类似，最后返回的字符串如果要借个位的一位就存放一个x，两函数合并时判断是否有x（需要向个位借一位的情况）即可，代码如下：

// 小数部分 // 全是正数 // 大 - 小string sub_float(string a, string b){ 	string ret; // 存放最终结果	int d = 0;// 记录进位	int na = a.size(), nb = b.size();	int n = max(na, nb);// 统一个数	// 位数不够后面补0	if (na > nb)		for (int i = 1; i <= na - nb; i++)			b = b + "0";	else		for (int i = 1; i <= nb - na; i++)			a = a + "0";	string maxn = a, minn = b; // 重新搞两个字符串（提高可读性）	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)	{ 		int tmp = 0, tmp_max = maxn[i] - '0' + d, tmp_min = minn[i] - '0'; // 进位放初始化		d = 0;// 注意用完 d 归零		if (tmp_max < tmp_min) // 借位情况（大数该位不够减小数该位）		{ 			tmp_max += 10; //问前面一位要了一个1			d = -1;		}		tmp = tmp_max - tmp_min;		ret.push_back(tmp + '0');	} 	if (d == -1)// 整数部分也要减1		ret.push_back('x');	reverse(ret.begin(), ret.end());	return ret;}

两正数相减

与加法相同，裁剪小数和整数两部分字符串依次调用各自的函数即可，代码如下：

// 减法  // 默认 大 - 小string sub(string a, string b){ 	auto it_a = a.find('.'), it_b = b.find('.');	string a_int = a, b_int = b, a_float, b_float; // 默认a b是整数	if (it_a != -1)// 找到小数点了就要分成两部分	{ 		a_int = a.substr(0, it_a); // 把整数部分裁下来		a_float = a.substr(it_a + 1, a.size() - it_a); // 把小数部分裁下来	}	if (it_b != -1)	{ 		b_int = b.substr(0, it_b);		b_float = b.substr(it_b + 1, b.size() - it_b); // 同上	}	string su_float = sub_float(a_float, b_float);	if (su_float[0] == 'x')//看看有没有前导x，有就需要借位	{ 		su_float = su_float.substr(1, su_float.size() - 1); //把前导x舍弃		a_int = sub_int(a_int, "1"); // 小数进位只会加1	}	int count = 0;	for (auto e : su_float) // 看看结尾是不是全是0		if (e == '0')			count++;	if (count == su_float.size()) // 说明全是0，ret可以不要了		su_float.clear(); //清空	string su_int = sub_int(a_int, b_int);	string ret = su_int;	if (su_float.size() != 0) // 说明里面有小数		ret = ret + "." + su_float;	return ret;}

加减法总结

 通过减法可以利用该函数实现加法中的正数加负数，当然在面对小减大的情况时，需要通过一个比较函数来判断两数的绝对值大小，处理完之和直接在最终结果的字符串前头插一个” - " 即可，加减法无非以下几种情况：

                                                         加减法所有可能情况

式子形式	大小比较	结果大小
正数a + 正数b	两者都大于0	大于0
正数a + 负数b	| a | >= | b |	大于等于0
正数a + 负数b	| a | < | b |	小于0
负数a + 负数b	两者都小于0	小于0
正数a - 正数b	| a | >= | b |	大于等于0
正数a - 负数b	a >= 0    b < 0	大于0
负数a - 正数b	a < 0    b >= 0	小于0
负数a - 负数b	| a | >= | b |	小于0
负数a - 负数b	| a | < | b |	大于0

 以下代码为绝对值化处理和比较函数的内容，大家可以根据本蒟蒻上述代码尝试其他情况的代码编写。

// 绝对值化if (a[0] == '-')a = a.substr(1, a.size() - 1);if (b[0] == '-')b = b.substr(1, b.size() - 1);// 比较函数bool my_cmp(string a, string b) // 补0 且 绝对值化后进行比较{ 	// 默认 a > b	for (int i = 0; i < a.size(); i++)		if (a[i] < b[i])			return false;	return true;}

 乘法高精度

本题来自洛谷题库：P1303 A*B Problem，相比加减法的高精度，乘法的高精度相对麻烦一些，但是归根结底还是运用字符串来实现位数的变化，其主要区别在于进位，加减法的进位只会是1，但是乘法的进位可以达到8（9 * 9 = 81），本文不探讨除法的高精度，个人认为除法的高精度不常见，接下来我们试着解决上题。

注意特殊情况：0和任何数相乘都为0！！！

两个正整数相乘

以 679 x 58 为例，看以下图片如何模拟该乘法过程：

 可以看到乘法内部实际为多个加法操作的求和，我们可以在上面的加法操作上进行修改：

// 整数部分 // 全是正数string mul_int(string a, string b){ 	if (a == "0" || b == "0")//处理特例		return "0";	string ret = "0"; // 存放最终结果	int d = 0;// 记录进位	string longer = a, shorter = b; // 假设法	if (a.size() < b.size())		swap(longer, shorter);	int n = shorter.size(); // 乘的次数	reverse(longer.begin(), longer.end()); reverse(shorter.begin(), shorter.end()); //逆置后位数顺序	for (int i = 0; i < n; i++)	{ 		string str; // 临时存放数据		for (int j = 0; j < longer.size(); j++)		{ 			int tmp = 0, tmp_longer = longer[j] - '0', tmp_shorter = shorter[i] - '0';			tmp = tmp_longer * tmp_shorter + d; //加上进位			d = tmp / 10;			tmp %= 10;			str.push_back(tmp + '0');		}		if (d != 0) //比原数多一位			str.push_back(d + '0');		reverse(str.begin(), str.end());		for (int z = 1; z <= i; z++) // 从十位开始就要后面补0			str.push_back('0');		ret = add_int(ret, str);// 调用上述两整数相加运算		d = 0; // 用完复位	}	return ret;}

两个正小数相乘

小数相乘可以利用上面的正整数相乘，回想一下小学时期如何解决小数相乘问题的？

本蒟蒻总结了以下几个步骤：

1. 计算两数小数点后几位之和
2. 小数前面的0全部去掉
3. 整数相乘
4. 添加小数点

光看文字可能有些抽象，我们来看图片：

 根据上面图片是不是思路更加清晰了呢？下面我们来实现代码操作：

// 小数部分 // 全是正数string mul(string a, string b){ 	if (a == "0" || b == "0")//处理特例		return "0";	auto it_a = a.find('.'), it_b = b.find('.');	string a_int = a, b_int = b, a_float, b_float; // 默认a b是整数	if (it_a != -1)// 找到小数点了就要分成两部分	{ 		a_int = a.substr(0, it_a); // 把整数部分裁下来		a_float = a.substr(it_a + 1, a.size() - it_a); // 把小数部分裁下来	}	if (it_b != -1)	{ 		b_int = b.substr(0, it_b);		b_float = b.substr(it_b + 1, b.size() - it_b); // 同上	}	int n = a_float.size() + b_float.size();	if (a_int == "0")		a_int.clear();	if (b_int == "0")		b_int.clear();	a = a_int + a_float, b = b_int + b_float; // 拼起来	string ret = mul_int(a, b); int nret = ret.size();	if (n >= nret)// 不够还要补0	{ 		//为什么不用insert？ 如果要头插大量0，insert时间复杂度太高		reverse(ret.begin(), ret.end()); //逆置尾插0		for (int i = 0; i <= n - nret; i++)			ret.push_back('0');		ret.insert(n, 1, '.'); //这里的insert只要挪一个0就行  好好思考为什么		reverse(ret.begin(), ret.end());	}	else		ret.insert(nret - n, 1, '.');	return ret;}

上述代码我将含有小数和整数的数字合并在一起，该函数可以处理各种正数相乘。

乘法总结

乘法一共有以下几种情况，需要注意以下两点：

1. 两个小数相乘不会向整数位进位
2. 0乘任何数都为0

乘法需要考虑以下所有情况： 

                                                     乘法所有可能情况

式子形式	大小比较	结果大小
0 x 任何数		0
正数a x 正数b	两者都大于0	大于0
正数a x 负数b	a > 0   b < 0	小于0
负数a x 负数b	a < 0   b < 0	大于0
整数a x 小数b	两者都大于0（相当于除法）	大于0
小数a x 小数b	两者都大于0	大于0且小于1

最后附上以上的测试代码，供大家调试：

int main(){ 	string sa, sb, ans; cin >> sa >> sb;	//ans = add_int(sa, sb);	//ans = add_float(sa, sb);	//ans = add(sa, sb);	//ans = sub_int(sa, sb);	//ans = sub_float(sa, sb);	//ans = sub(sa, sb);	//ans = mul_int(sa, sb);	ans = mul(sa, sb);	cout << ans << endl;	return 0;}